วันจันทร์ที่ 17 มกราคม พ.ศ. 2554

การสะท้อน The Geometer's Sketchpad

การสะท้อน The Geometer's Sketchpad

อยากฝากผลงานสวยๆ  นี้ให้เพื่อนๆ  ได้ลองคิดกันว่าถ้าจะทำ  ผลงานตัวนี้มีวิธีการสร้างอย่างไร

ไฟล์ผลงานการสะท้อน  ดาวน์โหลด เลยค่ะ
การสร้าง  วิธีการสร้าง  จะต้องใช้ความรู้เกี่ยวกับการสะท้อน และ  การย่อขยายเข้ามาช่วย  ผลงานตัวนี้จะช่วยให้เด็กนักเรียนเกิดความคิดสร้างสรรค์  มองเห็นความสวยงามของรูปทรงเรขาคณิต
นักเรียนบ่นหลายคนว่าทำตามไ่ม่ทัน  ถ้าทำตามไม่ทันรูปภาพด้านบน
ก็อ่านบทความประกอบไปด้วยเลยแล้วกันนะค่ะ
เริ่มต้น   นำเครื่องมือเขียนเส้นในแนวตรงออกมาสร้างมุมดังรูป  และสร้างรูปต้นแบบ ห้าเหลี่ยมที่จะใช้เพื่อสะท้อน
ขั้นสอง   เติมสีใส่ต้นแบบ  และระบุเส้นสะท้อนในที่นี้ระบุเส้นสะท้่อนในแนวนอนก่อนจากนั้นสะท้อนรูปต้นแบบมา จะได้รูปสะท้อน1 และจะห็นว่ารูปที่สะท้อนมานั้นถูกปลุกให้ตื่นอยู่  จากนั้นระบุเส้นสะท้อนในแนวตั้ง สะท้อนรูปต้นแบบ1  ไปอีก    ระบุเส้นสะท้อนแนวตั้งแนวนอนสลับกันไปมาจนได้รูปที่สะท้อนทั้งหมดหกรูป 
ขั้นที่สาม   ซ่อนรูปต้นแบบตัวแรก  เหลือแค่จุดห้าจุดของรูปต้นแบบไว้   จากนั้นคลิกรูปทั้งหมดหกรูปปลุกให้ตื่นทั้งหมด ระบุจุดศูนย์กลางโดยดับเบิ้ลคลิกที่จุดที่เป็นมุม แล้วไปที่เมนูการแปลงย่อขยายเป็นอัตราส่วน  -1/2  
ขั้นที่สี่   ทำในทำนองเดียวกันย่อขยายรูปเขาไปอีกเป็นระดับ  3  ชั้นทั้งหมด   ใส่สีสลับกันไปมาให้สวยงาม  ควรเลือกสีที่เหมาะสม  ถ้าเลือก  สีฟ้าสีแดง  เวลาสีซ้อนกันแล้วจะเกิดสีดำขึ้นมาไม่สวย  ควรหลีกเลี่ยงจ้า    ต้องมีศิลป์  ในการเลือกสีด้วยนะค่ะ  ผลงานที่ออกมาถึงจะสวยงาม
ขั้นที่ห้า  เป็นการรวมจุดกับเส้นตรงและวงกลมที่สร้างมาเพิ่มใช้ในการเคลื่อนไหว   โดยวิธีการเลือก  จุดทำตามรูปภาพเลยนะค่ะ  เริ่มที่จุดกับแขนของมุมก่อน  ตามรูป  ไปที่เมนูแก้ไข  และก็รวมจุดกับเส้นตรง
ขั้นตอนนี้ต้องเลือกจุดให้ดีนะค่ะไม่งั้นจะไม่เหมือนกับผลงานที่เรานำมาแสดง  แต่จะกลายเป็นรูปทรงใหม่แทน  ซึ่งก็แล้วแต่   คนทำเป็นคนพิจารณาแล้วกัน   เพราะอาจจะคิดว่าผลงานแบบที่ตนทำก็เก๋  แปลกตาไปอีกแบบ   ก็เป็นอันเสร็จสิ้นกระบวนการสร้างเรียบร้อยแล้ว   คงต้องดูภาพพิจารณาตามไปด้วยนะค่ะ
จึงจะได้ในรูปแบบที่ต้อง
      หวังว่าคงจะชอบและสนุกกับการสร้างผลงานในครั้งนี้นะค่ะ   ขวัญว่าผลลัพธ์ไม่น่าตื่นตาตื่นใจเท่้ากับวิธีการที่เขาคิดได้อย่างไร  สร้างได้อย่างไร    อันนี้น่าสนใจและน่าทึ่งกว่า    แล้วอย่าลืมฝึกฝนกันบ่อยๆนะค่ะ

การเลื่อนขนาน (Translation)

การเลื่อนขนาน (Translation)

วันนี้นำวิธีการเลื่อนขนานที่หลายคนยังสงสัยว่ามีวิธีการเลื่อนอย่างไร 
วิธีการเลื่อนขนานนั้นในโปรแกรมใช้ได้หลายวิธี   
1. แบบระบุเวกเตอร์  เราต้องระบุ จุดสองจุดที่เราจะใช้เป็นระยะทางเลื่อนขนานก่อนจากนั้นปลุกรูปต้นแบบให้ตื่นแล้วก็คลิกที่เมนูการแปลง  เลื่อนขนาน  รูปภาพก็จะไปตามทิศทางที่ระบุตามเวกเตอร์ที่ได้กล่าวไว้ข้างต้น
2  แบบระบุด้วยตนเองกับเวกเตอร์คล้ายๆกันแต่เราปลุกรูปต้นแบบที่จะเลื่อนขนานก่อนจากนั้นไปที่เมนูการแปลงเลือกเลื่อนขนาน   จากนั้นใช้เม้าว์คลิกจุดสองจุดเพื่อบอกระยะในการเลื่อนขนานไป
3   แบบเชิงขั่ว  จะเป็นการกำหนดระยะทางและมุมในการเลื่่อนขนานเองโดยเราต้องใช้ความรู้เลือกมุมเป็นอย่างดี
4 แบบสี่เหลี่ยมมุมฉาก  จะเป็นการเลื่อนรูปขนานของรูปต้นแบบ  ในแนวแกนวาย  แกนเอ็ก    ซึ่งก็คือ แนวตั้งและแนวนอนนั้นเอง

การเลื่อนขนานเป็นความรู้เบื้องต้นที่เราใช้ได้บ่อยในการสร้างผลงาน  เรื่องต่างๆ  ควรหมั่นฝึกฝนอย่างต่อเนื่อง  จะได้เข้าใจรูปแบบของการใช้ได้ดียิ่งขึ้นค่ะ
ดูภาพประกอบตามด้านล่างเลยค่ะ

การสร้างพื้นฐานทางเรขาคณิต

เพราะรู้สึกว่าเนื้อหาในบล็อก  ส่วนมากแล้วไม่ค่อยกล่าวถึงพื้นฐานสักเท่าไหร่  ดังนั้นก็เลยได้นำเสนอบทความเรื่องนี้  เริ่มกันเลยนะค่ะ   เราสามารถใช้  GSP  ในการสอนเรื่องการสร้างพื้นฐานทางเรขาคณิตได้      โดยปกติการสร้างรูปเรขาคณิตที่เี่ป็นพื้นฐานของการศึกษาเรขาคณิตนั้น สามารถทำได้ด้วยวงเวียน และเส้นตรง
การใช้ GSP ในการช่วยสอนการสร้างพื้นฐานนี้ ครูสามารถตรวจสอบร่องรอยการสร้างของนักเรียน
ได้จากคำสั่ง แสดงสิ่งที่ซ่อนไว้ทั้งหมด ในเมนูแสดงผล

การสร้างรูปเรขาคณิตต้องอาศัยความรู้เรื่องการสร้างพื้นฐาน 6 แบบ คือ
  1.  การสร้างส่วนของเส้นตรงที่ยาวเท่ากับความยาวของส่วนของเส้นตรงที่กำหนดให้                  
  2. การแบ่งครึ่งส่วนของเส้นตรงที่กำหนดให้                                                                                     
  3. การแบ่งครึ่งมุมที่กำหนดให้
  4. การสร้างเส้นตั้งฉากจากจุดภายนอกมายังเส้นตรงที่กำหนดให้
  5. การสร้างเส้นตั้งฉากที่จุดจุดหนึ่งบนเส้นตรงที่กำหนดให้
  6. การสร้างมุมให้มีขนาดเท่ากับขนาดของมุมที่กำหนดให้
แบบที่ 1  การสร้างส่วนของเส้นตรงที่ยาวเท่ากับความยาวของส่วนของเส้นตรงที่กำหนดให้

(ถ้าต้องการเริ่มต้นใหม่ กด ปุ่ม F5 นะค่ะ)




แบบที่  2  การแบ่งครึ่งส่วนของเส้นตรงที่กำหนดให้








แบบที่ 3 การสร้างมุมให้มีขนาดเท่ากับขนาดของมุมที่กำหนดให้






แบบที่  4  การแบ่งครึ่งมุมที่กำหนดให้





แบบที่ 5  การสร้างเส้นตั้งฉากจากจุดภายนอกมายังเส้นตรงที่กำหนดให้



     
แบบที่  6  การสร้างเส้นตั้งฉากที่จุดจุดหนึ่งบนเส้นตรงที่กำหนดให้                                                 






ทั้ง 6  รูปแบบเป็นพื้นฐานการสร้างหวังว่า  ทุกคนคงจะสนุกกับเรียนรู้ในครั้งนี้นะค่ะ  เจอกันใหม่บทความหน้าค่ะ  บทความหน้าจะพูดเกี่ยวกับกราฟสักหน่อย

วันอาทิตย์ที่ 16 มกราคม พ.ศ. 2554

การสร้างศิลปะ แบบแฟลคตอล ด้วย GSP ง่ายมาก

คลิปวีดีโอ การสร้างศิลปะ แบบแฟลคตอล ด้วย  GSP ง่ายมาก ดังรูปด้านล่าง

แนะนำ The Geometer’s Sketchpad (GSP)

The Geometer’s Sketchpad (GSP) เป็นซอฟตแวรสำรวจเชิงคณิตศาสตร์ เรขาคณิต
เชิงพลวต (Dynamic Geometry) ที่ใช้สร้างรูปเรขาคณิตทเคลื่อนไหวได้นำไปสู่การค้นหาสมบัติ
ต่าง ๆ ทางเรขาคณิต โดยผู้ใช้ซอฟตแวร์ในสร้างรูปแล้วสามารถสำรวจ ตั้งขอคาดเดา และสบเสาะ
ตรวจค้นเพื่อยืนยันเหตุผลของตนเอง ทำให้เกิดจินตนาการในการค้นคว้าหาเหตุผล เพื่อเพิ่มพูน
ความรู้ตลอดจนทำให้เกิดความคงทนทางการเรียน  
GSP สามารถนำไปใช้ประกอบการเรียนการสอนได้หลากหลายเนื้อหาทางเรขาคณิตเช่น
เส้นตรงและมุม การสร้าง ความเท่ากันทุกประการ ทฤษฎบทปีทาโกรัส เส้นขนาน ความคล้าย   
วงกลม นอกจากนี้ยังสามารถนำไปใช้ในเรื่องของโกณมต เวกเตอร เรขาคณิตวเคราะห์ ฯลฯ
 เมื่อเปิดโปรแกรม The Geometer’s Sketchpad (GSP) จะพบคำว่า  The Geometer’s
Sketchpad อยู่กลางหน้าต่าง  คลิกหนึ่งครั้งเพื่อลบกล่อง คำว่า The Geometer’s Sketchpad 
มีต่อ<<<<<

วันพฤหัสบดีที่ 13 มกราคม พ.ศ. 2554

การสร้างรูปศิลปะเชิงคณิตศาสตร์ที่สวยงามมากๆด้วย เทคนิคทำซ้ำ

การสร้างรูปศิลปะเชิงคณิตศาสตร์ที่สวยงามมากๆด้วย เทคนิคการทำซ้ำ น้อยคนจะรู้จัก ผมว่ายอดเยี่ยมและสวยงามกว่าวิธีอื่นด้วยซ้ำไป ลองชมครับ  ส่วนตอนจบที่รูปเคลื่อนไหวสวยงามนั้น กดปุ่ม + ครับผม

การสร้างเทสเซลเลชั่นที่สวยงามน่าทึ่ง ด้วยโปรแกรม GSP

การสร้างเทสเซเลชั่นที่สวยงามน่าทึ่ง ด้วยโปรแกรม GSP แล้วจะรู้ว่าคณิตศาสตร์น่าสนใจไม่น่าเบื่อลองดูครับ (VDO CLIP) สร้างให้ดูเนื่องจากมีคนขอมาครับดังนี้ คือว่าที่โรงเรียนกำลังจะประเมินโรงเรียนในฝัน  และทางกลุ่มสาระคณิตศาสตร์  จะนำเสนอเรื่องการใช้โปรแกรม gsp ในการสร้างเทสเซลเลชั่น   อยากขอรายละเอียด หรือรูปแบบของงานเหล่านี้ เพื่อเตรียมพร้อมในการประเมินค่ะ ลองชมครับตามคำขอ

การทำดอกไม้โดยใช้โปรแกรม GSP

รูปแสดงการทำดอกไม้โดยใช้โปรแกรม GSP

วันพุธที่ 12 มกราคม พ.ศ. 2554

การสร้างเครื่องมือกำหนดเอง และการลงจุด หาจุดตัดของกราฟ โดยใช้ GSP

การสร้างเครื่องมือกำหนดเอง และการลงจุด หาจุดตัดของกราฟ โดยใช้ GSP

ในโปรแกรม  GSP  เราสามารถสร้างเครื่องมือกำหนดเองได้  เครื่องมือกำหนดเองที่ว่านี้จะช่วยประหยัดเวลาในการที่เราสร้างสรรค์ผลงานที่ต้องใช้รูปทรงแบบเดิมๆยกตัวอย่างอาทิเช่น  รูปหลายเหลี่ยม  ไม่ว่าจะเป็น สามเหลี่ยม  สี่เหลี่ยม  ห้าเหลี่ยม  เราสามารถสร้างรูปหลายเหลี่ยมและเก็บเป็นเครื่องมือไว้ใช้ในการออกแบบลวดลายต่างๆ  ดังที่เห็นในโครงงาน ทางคณิตศาสตร์หลายๆ โครงงานนิยมนำไปใช้ในการออกแบบ ลายผ้าไทย  ออกแบบลวดลายกระเป๋า อื่นๆ    ก่อนอื่นเราต้องมาเรียนรู้วิธีการสร้างรูปต้นแบบ  กันก่อนที่จะเริ่มเก็บเป็นเครื่องมือไว้ใช้
รูปสามเหลี่ยมด้านเท่า   รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีขนาดคงที่  รูปสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีความสูงตามกำหนด  รูปลูกบาศก์
วิธีการเก็บเป็นเครื่องมือนั้น  หลังจากที่เราสร้างรูปต้นแบบเสร็จ  เราก็ปลุกรูปต้นแบบของเราให้ตื่น  จากนั้นไปที่เครื่องมือกำหนดเองกดค้างไว้สักหน่อย  จากนั้นจะเห็นเครื่องมือกำหนดเองเราก็ตั้งชื่อเครื่องมือของเราก็เป็นอันเสร็จ  จากนั้นลอง  คลิกที่เครื่องมือที่เราสร้างแล้วนำออกมาใช้กันได้เลยค่ะ
ข้อควรระวังในการเก็บรูปสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีความสูงตามกำหนดควรเก็บ  เป็นขั้นตอน  และไม่ควรที่จะสร้างเส้นตั้งฉาก  ควรใช้ สร้างวงกลมเพื่อปรับขนาดความสูงแต่ไม่นิยมสร้างเส้นตั้งฉากแล้วลงจุดบนเส้นตั้งฉาก  เพื่อเก็บเป็นเครื่องมือ  เพราะเครื่องมือที่ได้จะมีรูปร่างไม่คงที่   เนื่องจากการสร้างจุดบนเส้นตั้งฉาก  มันมีความไม่แน่นอน  สามารถเลื่อนไปมาได้


คลิกไปที่รูปภาพเพื่อดูการแสดง  อยากชมผลงานใหม่   กด  F5   นะค่ะ 




แอนิเมชั่น Shadow

เรียนรู้ เริ่มต้นกับ โปรแกรม GSP สำหรับมือใหม่

  
นี้คือ  หน้าตา โปรแกรม  GSP  ของเราที่สามารถนำมาสร้างสรรค์ผลงานทางคณิตศาสตร์  เมนูที่ใช้งานต่างๆของโปรแกรม
กล่องเครื่องมือ  เครื่องมือลูกศร  เครื่องมือลงจุด  เครื่องมือวาดวงกลม  เครื่องมือวาดเส้นในแนวตรง  เครื่องมือพิมพ์ข้อความ   เครื่องมือกำหนดเอง
หลังจากอธิบายเรื่องของโปรแกรมเบื้องต้นกันมาแล้ว
เรามาดูวิธีการใช้  โปรแกรม  GSP  สำหรับ  มือใหม่ที่เพิ่มเรียนรู้กันเลยค่ะ   เริ่มเป็นลำดับเลยนะค่ะ
ขั้นที่ 1   เราต้องมีตัวโปรแกรม  GSP  ในเครื่องของเราเสียก่อน   
ขั้นที่ 2  เรียนรู้การใช้งานเบื้องต้น  โดยใช้ คู่มือประกอบการเรียน
ขั้นที่  3   เริ่มเรียนรู้การใช้งานเบื้องต้น  โดยหมั่นฝึกฝน  เริ่มจากการสร้างรูป  ง่ายๆ  เรียนรู้เกี่ยวกับการใช้เครื่องมือต่างๆ  ของโปรแกรม  

มีแค่สามขั้นตอนเท่านั้น  แต่ขั้นที่  3  นั้นสำคัญคือหมั่นฝึกฝนบ่อยๆ  ความชำนาญก็จะเกิดเองค่ะ  ขอให้ทุกคนโชคดี  หมั่นฝึกฝนกันเยอะๆนะค่ะ

ชิ้นงานเรื่องหลายเหลี่ยมหลายมุม...ด้วยโปรแกรม GSP

ในการเรียนวิชาคณิตศาสตร์เรื่องรูปสามเหลี่ยม ซึ่งมีมุมภายในรวมกันเท่ากับ 180 องศา และรูปเหลี่ยมมีมุมภายในรวมกันเท่ากับ 360 องศา จึงเกิดข้อสงสัยว่าถ้าเป็นรูปห้าเหลี่ยม รูปหกเหลี่ยม รูปเจ็ดเหลี่ยม รูปแปดเหลี่ยม รูปเก้าเหลี่ยม และรูปสิบเหลี่ยม มุมภายในของรูปเหลี่ยมต่าง ๆ จะเพิ่มขึ้นครั้งละ 180องศาหรือไม่ จึงได้ทำการทดลองออกแบบสร้างรูปเหลี่ยมต่าง ๆ แล้ววัดมุมภายในของรูปเหลี่ยมต่าง ๆ ผลจากการทดลองปรากฏว่า รูปห้าเหลี่ยมมีมุมภายในรวมกันเท่ากับ 720 องศา รูปเจ็ดเหลี่ยม มีมุมภายในรวมกันเท่ากับ 900 องศา รูปหกเหลี่ยมมีมุมภายในรวมกันเท่ากับ 1,080 องศา รูปเก้าเหลี่ยมมีมุมภายในรวมกันเท่ากับ 1,260 องศา และรูปสิบเหลี่ยมมีมุมภายในรวมกัน เท่ากับ 1,440 องศา
            จากการทดลองทำโครงงานคณิตศาสตร์เรื่องหลายเหลี่ยม หลายมุม ทำให้ได้ข้อสรุปว่า รูปเหลี่ยมที่เพิ่มขึ้น 1 ด้าน จะมีขนาดของมุมภายในเพิ่มขึ้นครั้งละ 180 องศา และความสัมพันธ์ระหว่างด้านของรูปเหลี่ยมที่เพิ่มขึ้นกับขนาดของมุมภายในของรูปเหลี่ยมนั้น ๆ หาได้จาก ( n-2)  x 180 องศา
ที่มาของโครงงาน
          
โครงงานคณิตศาสตร์  เรื่อง  “หลายเหลี่ยม หลายมุม” เกิดขึ้นเนื่องจากการเรียนวิชาคณิตศาสตร์เรื่องมุมภายในของรูปสามเหลี่ยมต่างๆ รวมกันจะเท่ากับ 180 องศา และมุมภายในของรูปสี่เหลี่ยมต่างๆรวมกันจะเท่ากับ  360 องศา จากการตั้งข้อสังเกตว่ามุมภายในของรูปสามเหลี่ยมและรูปสี่เหลี่ยมมีขนาดต่างกัน เท่ากับ 180 องศา ถ้าเป็นรูปห้าเหลี่ยมจะมีภายในต่างจากรูปสี่เหลี่ยม 180 องศา หรือไม่  คือจะมีมุมภายในเท่ากับมุมภายในของรูปสี่เหลี่ยมเพิ่มขึ้นอีก 180 องศา รวมเป็น 540 องศา หรือไม่และรูปหกเหลี่ยม เจ็ดเหลี่ยม แปดเหลี่ยม เก้าเหลี่ยม และสิบเหลี่ยม จะมีมุมภายในรวมกันเพิ่มขึ้นครั้งละ 180 องศา ต่อการเพิ่มด้านของรูปเหลี่ยม 1 ด้าน ทุกครั้งจริงหรือไม่ จึงเป็นแรงกระตุ้นให้คณะผู้จัดทำโครงงานทั้งสามคนสนใจ ใคร่ศึกษาทดลองเพื่อหาข้อเท็จจริงถึงความสัมพันธ์ระหว่างด้านของรูปเหลี่ยมที่เพิ่มขึ้นกับมุมภายในของรูปเหลี่ยมนั้นๆ
จุดประสงค์การทำโครงงาน
          เพื่อใช้โปรแกรม GSP  ทดลองออกแบบสร้างรูปเหลี่ยมชนิดต่างๆ และศึกษาถึงความสัมพันธ์ระหว่างด้านของรูปเหลี่ยมที่เพิ่มขึ้นกับขนาดของมุมภายในของรูปเหลี่ยมนั้น ๆ
เนื้อหาคณิตศาสตร์
        1. รูปสามเหลี่ยมมุมภายในของรูปสามเหลี่ยม รวมกันได้สองมุมฉากหรือเท่ากับ 180 องศา
       2. รูปสี่เหลี่ยมมุมภายในของรูปสี่เหลี่ยม รวมกันได้เท่ากับ 360 องศา
      
3. รูปหลายเหลี่ยมการหาขนาดของมุมภายในของรูปสามเหลี่ยมหาได้โดย แบ่งรูปหลายเหลี่ยมเป็นสามเหลี่ยมหลาย ๆ รูป

 ขั้นตอนการดำเนินงาน
       ใช้โปรแกรม  GSP   พิสูจน์สร้างรูปเหลี่ยมต่างๆ  หามุมภายในโดยใช้เครื่องมือในโปรแกรมได้อย่างแม่นยำ  สามารถเคลื่อนที่ได้  พิสูจน์มุมมีขนาดเท่ากันได้เป็นรูปธรรม  โดยใช้เมนู  การเลื่อนขนาน   การหมุน   ในโปรแกรม  GSP  ในคอมพิวเตอร์  ได้อย่างรวดเร็ว  แม่นยำ  เป็นรูปธรรม
       1.  หามุมภายในรูปสามเหลี่ยม โดยวิธีทดลองในใช้โปรแกรม  GSP
     
 2.  หามุมภายในรูปสี่เหลี่ยม ห้าเหลี่ยม หกเหลี่ยม เจ็ดเหลี่ยม แปดเหลี่ยม  
เก้าเหลี่ยม
สิบ
เหลี่ยม โดยอาศัยรูปสามเหลี่ยมใช้โปรแกรม  GSP
       
3.  สังเกตผลจากข้อ 2 และสรุปผลใช้โปรแกรม  GSP

ผลการดำเนินงาน
         สรุปการหาผลรวมของมุมภายในรูปหลายเหลี่ยมชนิดต่างๆใช้โปรแกรม  GSP 
  • จำนวนเหลี่ยม(n) จำนวนรูปสามเหลี่ยมที่แบ่งได้ ผลรวมของมุมภายใน

                    สามเหลี่ยม 1       1 x 180 ๐  = 180๐ 

                    สี่เหลี่ยม 2          2 x 180 ๐  = 360๐
                   ห้าเหลี่ยม 3          3 x 180 ๐  = 540๐
                   หกเหลี่ยม 4          4 x 180 ๐  = 720๐
                   เจ็ดเหลี่ยม 5        5 x 180 ๐  = 900๐
                   แปดเหลี่ยม 6       6 x 180 ๐  = 1,080๐
                   เก้าเหลี่ยม 7         7 x 180 ๐  = 1,260๐
                   สิบเหลี่ยม 8          8 x 180 ๐ = 1,440๐
             จากการสังเกตพบว่า จำนวนรูปสามเหลี่ยมที่แบ่งได้จะมีจำนวนน้อยกว่าจำนวนเหลี่ยมอยู่ 2 ดังนั้นมุมภายในรูป n  เหลี่ยม จะได้ ( n – 2 ) x 180๐
สรุปและอภิปรายผล
            การทำโครงงานคณิตศาสตร์เรื่อง “หลายเหลี่ยม หลายมุม”  ทำให้เกิดความเข้าใจเกี่ยวกับการสร้างรูปเหลี่ยมชนิดต่างๆ ซึ่งสามารถนำไปใช้ประยุกต์ในการสร้างแบบ pattern ต่างๆ ได้ และเข้าใจถึงความสัมพันธ์ระหว่างด้านของรูปเหลี่ยมที่เพิ่มขึ้นกับมุมภายในของรูปเหลี่ยมว่า รูปใด ๆ ก็ตามสามารถแบ่งเป็นสามเหลี่ยมย่อย ๆ ได้ ซึ่งก็จะได้ผลรวมของมุมภายในเท่ากับจำนวนสามเหลี่ยมที่แบ่งได้นอกจากนี้ยังทำให้ทราบว่ารูปเหลี่ยมใด ๆ ก็ตาม เมื่อแบ่งเป็นรูปสามเหลี่ยมจะได้จำนวนของรูปสามเหลี่ยมน้อยกว่าจำนวนเหลี่ยมของรูปนั้นอยู่ 2 เสมอ ซึ่งสามรถทำให้สรุปเป็นสูตรในการคำนวณหามุมภายในของรูปเหลี่ยมใด ๆ ได้ คือ
            สรุปมุมภายในรูป n เหลี่ยม = ( n-2) x 180๐

โปรแกรม Geometer’s Sketchpad (GSP)

ขณะนี้ สสวท. ได้ส่งเสริมให้นำโปรแกรม Geometer’s Sketchpad (GSP) ซึ่งใช้กันกว่า 60 ประเทศทั่วโลก มาใช้ในการเรียนการสอนคณิตศาสตร์ โปรแกรม GSP พัฒนาขึ้นโดยบริษัท Key Curriculum Press ตั้งแต่ปี ค.ศ. 1991

โรงเรียนต่าง ๆ ในสหรัฐอเมริกาใช้โปรแกรมนี้สอนคณิตศาสตร์ในโรงเรียนมากที่สุด และในหลาย ๆ ประเทศทั่วโลก อาทิ แคนาดา สหราชอาณาจักร สิงคโปร์ มาเลเซีย ไต้หวัน ฮ่องกง เดนมาร์ค ญี่ปุ่น ออสเตรเลียได้ใช้โปรแกรมนี้อย่างแพร่หลาย

ในส่วนของประเทศไทยนั้นได้ลงนามในพิธีครองลิขสิทธิ์การใช้ซอฟท์แวร์ GSP เวอร์ชั่น 4.0 ตั้งแต่กลางเดือนธันวาคม 2547 ที่ผ่านมา ณ โรงแรมอิมพีเรียล ควีนส์ปาร์ค กรุงเทพมหานคร

จุดเด่นของโปรแกรม GSP นี้ก็คือทำให้ครูและนักเรียนมีเวลาในการเรียนการสอนและได้พัฒนาการคิดวิเคราะห์มากขึ้น เพราะไม่ต้องเสียเวลานานในการสร้างรูป เรขาคณิตจำนวนมากเพื่อพิสูจน์ทฤษฎีต่าง ๆ อีกทั้งยังทบทวนได้ง่ายและบ่อยขึ้น

การสอนด้วยโปรแกรม GSP ยังทำให้นักเรียนเรียนได้สนุก เข้าใจได้เร็ว และน่าตื่นเต้น นอกจากนั้นการใช้ GSP สร้างสื่อการสอนและใบงาน ยังทำได้รวดเร็วและแม่นยำ สามารถนำเสนอภาพเคลื่อนไหว (animation) มาใช้อธิบายเนื้อหาที่ยาก ๆ เช่น ทฤษฎีทางคณิตศาสตร์ ฟิสิกส์ ให้เป็นรูปธรรม ให้นักเรียนได้เรียนรู้และเข้าใจง่าย และโปรแกรมยังเน้นให้ผู้เรียนฝึกปฏิบัติ สร้างข้อคาดการณ์ด้วยตัวเองได้ นอกจากนี้ยังสามารถนำไปใช้ในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอนวิชาอื่น ๆ เช่น วิทยาศาสตร์ ศิลปะอย่างไม่มีข้อจำกัด

ทั้งนี้ ก่อนที่ สสวท. จะตัดสินใจลงนามครองลิขสิทธิ์การใช้ซอฟท์แวร์ GSP นั้น สสวท. ได้นำร่องทดลองนำโปรแกรม GSP มาใช้ในโรงเรียนและสถาบันการศึกษาอื่น ๆ ที่เป็นเครือข่ายของ สสวท. จำนวน 30 แห่งก่อนตั้งแต่ปีการศึกษา 2546 จนถึงปัจจุบัน จากการติดตามผลการใช้งานในวิชาคณิตศาสตร์พบว่าเมื่อเทียบกับซอฟท์แวร์อื่น ๆ ประเภทเดียวกันแล้ว โปรแกรมนี้สามารถใช้ได้ดีมาก และรองรับมาตรฐานสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ได้ทุกช่วงชั้น สสวท. จึงมั่นใจในการส่งเสริมให้สถานศึกษาทั่วไทยใช้โปรแกรม Geometer’s Sketchpad (GSP) เพื่อก้าวสู่มิติใหม่ของการเรียนรู้คณิตศาสตร์อย่างสนุก เข้าใจง่าย และเป็นรูปธรรม